Orange County Community College (SUNY Orange) - Olá, turma! Essa é a quarta aula de números. Vamos falar sobre conversão de medidas, porcentagem e juros. Olá, pessoal! De novo a matemática aparece em nosso cotidiano. Arthur, tô revoltada! Comprei um pacote de biscoitos e só depois fui perceber que na embalagem estava escrito “Nova embalagem. Novo peso. 20% a menos”. Que sacanagem paguei a mesma coisa e tenho menos biscoitos. Não vou te oferecer, tá. Tudo bem, Yarita. Pode comer seus biscoitos. Sabe que o que você disse tem tudo a ver com nossa aula. Nós vamos apresentar a regra de três, as conversões entre medidas e os instrumentos para utilizá-las, variações inversamente e diretamente proporcionais entre grandezas, porcentagem e juros. Yarita, você saberia calcular quantos biscoitos você deixou de comer, ou melhor, me oferecer? Ahhhh, isso é coisa de professor. Chama o Matu. Oi, Yarita. Oi, pessoal. Comprar produtos a menos é sempre chato, não é mesmo? Mas nem sempre perdemos. Às vezes, pode ter uma promoção e precisamos saber se vale a pena mesmo ou não. O fato é que não importa se são biscoitos, roupa ou cds o raciocínio é muito similar e para isso vamos usar a regra de três. Bom, acho que todo mundo já ouviu falar na regra de três. Para quem não lembra aí vai uma definição rápida: regra de três é um jeito prático de resolvermos problemas que envolvam quatro valores, sendo que conhecemos três deles e o quarto é o que precisa ser descoberto. O Matu, tem um passo-a-passo para facilitar esse processo? Claro que tem Artur. Quem tem um pouco de dificuldade para aprender ou necessita de mais pratica, deve seguir os seguintes passos: Primeiro, Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Depois, identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. então, basta montar a proporção e resolver a equação. Calma aí, você falou de grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Isso significa no caso de uma relação diretamente proporcional que aumentos ou reduções ocorrem em ambas as grandezas. É o caso do pacote de biscoitos da Yarita. Eles diminuíram 25 gramas do total, então também diminui o total de bolachas no pacote. Diretamente proporcional. Bom, pelo exemplo dos biscoitos já deu para perceber que podemos usar a regra de três em vários momentos cotidianos. Matu, agora vamos ver como esse tipo de cálculo é solicitado no ENEM? Vamos lá. Vocês que vão fazer ENEM logo mais precisam ficar atentos pois esse tipo de questão é muito comum e acaba envolvendo várias competências. Olhem só. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m² uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m² qual será a energia produzida? Agora, vamos montar a tabela e separar as grandezas que temos. De um lado, temos área e de outro energia. Pelo enunciado, sabemos que a área de um metro e vinte produz 400 de energia e queremos justamente saber quanto uma área maior, de um metro e meio é capaz de produzir. Para aquilo que queremos saber colocamos x. Assim, com os números na tabela fica mais fácil saber que tipo de relação existe entre as grandezas. Bom, até agora na tabela está simples. Mas como já não estamos mais falando algo tão próximo como o pacote de bolachas como vou saber sobre essa relação? Veja só quem vai dar as maiores dicas sobre isso é o próprio enunciado da questão. Lá estão as palavras-chave. Veja que no nosso exercicio a idéia implícita é de que quando aumentamos a área de absorção, a energia solar gerada também aumenta. As palavras aumentamos e aumenta nos confirmam que estamos falando de grandezas diretamente proporcionais. Para ficar bem clara essa relação colocamos duas setas para baixo. Uma em cada coluna da tabela e podemos montar a proporção e resolver a equação. a multiplicação entre os fatores deve ocorrer em x ou em cruz. portanto, 1,2 x é igual a 1,5 vezes 400 realizando esses cálculos a energia produzida será de 500 watts por hora. Perfeito. Depois disso, lembre sempre que a chave de exercícios desse tipo está no enunciado e que também pode acontecer das grandezas serem inversamente proporcionais. Quer dizer, enquanto uma aumenta outra diminui Entendi a energia e os biscoitos. Agora, o que a porcentagem da embalagem tem a ver com essa história toda? Porcentagem não é coisa de banco? Não só, Yarita. Naquela mesma embalagem de biscoito. Estava dizendo que você levaria 20% a menos. Se você fosse uma super comedora e tivesse 100 biscoitos na embalagem original na que você comprou, reformulada, teriam 20 a menos, portanto, apenas 80. Boa relação quando falamos de porcentagem, por definição, estamos falando sobre um valor que reflete acréscimos ou reduções e tem como base 100 unidades. Por exemplo, falar que a gasolina teve um aumento de 7% significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$7,00. Ou ainda, quando você recebe desconto de 16% em todas as mercadorias significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$16,00. As porcentagens podem ser representadas de várias formas: fração, numeral decimal ou ainda com o símbolo de porcentagem. Se você tiver dúvidas sobre sua forma de fração dê uma olha na nossa primeira aula de Matemática. Assim, sete sobre cem também pode ser zero vírgula zero sete ou sete por cento. Não se esqueçam que o domínio de contas utilizando porcentagens é fundamental para resolver exercícios envolvendo juros e parcelas, que são encontrados com freqüência no ENEM. Yarita você também estava correta. Mas viu como tem tanta porcentagem em outras partes? Para auxiliar nessas contas, é bom consultar a tabela dos fatores de multiplicação. O Matu, ajuda a gente nisso? Claro Vamos imaginar que estamos frente a um exercício sobre cálculo de lucro. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10 que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Isso quer dizer que aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 vezes 1,10 = R$ 11,00 Se o exercício pedir desconto ou estiver falando sobre decréscimo de valores o fator de multiplicação será um simbolizando o total ou cem por cento menos a taxa de desconto em sua forma decimal Então, descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 vezes 0,90 = R$ 9,00 Para deixar esse assunto o mais claro possível, eu proponho a resolução de um exercício. Vamos lá? Vamos resolver o exercício 8 da competência 3 A piscina de um prédio residencial tem 12 m de comprimento, por 10 de largura e 1 m de profundidade. Para encher a piscina, a síndica do prédio deseja contratar uma empresa que distribui água em carro pipa. Foram contatadas duas empresas: a empresa ÁGUA LIMPA cobra R$ 200,00 para transportar 20.000 litros de água; já a empresa ÁGUA CRISTALINA cobra R$ 180,00 para transportar 15.000 litros de água. Para que os custos para os proprietários do prédio com o transporte de água sejam os menores possíveis, é mais conveniente a síndica contratar: a) a empresa ÁGUA LIMPA, pois haverá uma economia de R$ 200,00 com relação à empresa ÁGUA CRISTALINA. b) a empresa ÁGUA LIMPA, pois haverá uma economia deR$ 240,00 com relação à empresa ÁGUA CRISTALINA. c) a empresa ÁGUA CRISTALINA, pois haverá uma economia de R$ 100,00 com relação à empresa ÁGUA LIMPA. d) a empresa ÁGUA CRISTALINA, pois haverá uma economia de R$ 180,00 com relação à empresa ÁGUA LIMPA. e) as duas empresas apresentam o mesmo custo para o transporte da água. O volume da piscina do prédio é igual a 12m x 10m x 1m É igual a 120m cúbicos = 120.000 litros A empresa ÁGUA LIMPA cobra R$ 200,00 para transportar 20.000 litros então quanto cobrará para transportar 120.000 litros montando a tabela de proporção, temos que cobrar R$ 200,00 reais para 20.000 litros x reais para 120.000 litros Note que de 20.000 para 120.000 temos um aumento de 6x. Logo, o custo também será aumentado em 6x, passando a ser de R$1200,00. Aplicando o mesmo raciocínio, a empresa ÁGUA CRISTALINA cobrará: R$ 180,00 para cada 15.000 litros y reais para os 120.000 litros Multiplicando em cruz temos Y= 180.120000 : 15000 = R$ 1440,00 Desta maneira, contratando a empresa ÁGUA LIMPA economizam-se 1440 – 1200 = R$ 240 em relação à empresa ÁGUA CRISTALINA. dessa forma, nossa alternativa correta seria b Lembra que falamos na aula 3 sobre a importância de compararmos sempre unidades de medida iguais. Para a aplicação de regra de três, cálculo de porcentagem e juros é imprescindível que as unidades de medida sejam as mesmas. Já falamos, mas não custa nada repetir As conversões entre medidas são cobradas por diversas competências do ENEM. O Matu preparou algumas tabelas que podem ser muito úteis quando tivermos exercícios que envolvam estas conversões. Mas para que saber tantas unidades de medida se a que mais usamos é o metro ou o centímetro para coisas pequenas? Você falou certo a que mais usamos. Usamos o metro e suas extensões para unidades de comprimento. Às vezes, existem situações em que essa unidade deixa de ser usual. Se quisermos medir grandes extensões, ela pode ser muito pequena; por outro lado, se quisermos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro pode ser "grande". Matu, mostra sua tabela. Claro. Nessa tabela, notamos as unidades de comprimento, seus símbolos e o valor correspondente em metro. Cada unidade de comprimento corresponde a 10 vezes a unidade de comprimento imediatamente inferior à direita. Em conseqüência, cada unidade de comprimento corresponde a 1 décimo da unidade imediatamente superior à esquerda. Bom, chegou a hora daquelas regras práticas que nos poupam minutos preciosos quando estamos resolvendo um exercício. A primeira dica: para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior, a gente deve fazer uma multiplicação por 10. Assim, um metro é igual a dez decímetros. Dica dois: para passar de uma unidade para outra imediatamente superior, a gente deve fazer uma divisão por 10. Então, um metro é igual a zero vírgula um decâmetro. E, por último, para passar de uma unidade para outra qualquer, basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores. Um metro também pode ser 100 centímetros ou ainda zero vírgula zero zero um quilômetro. Como já vimos, em alguns casos nossas unidades serão áreas ou ainda volumes. Por isso, atenção às unidades, tabelas do Matu e regras práticas. Para as unidades de área, percebemos que cada unidade corresponde a 100 vezes a unidade de área imediatamente inferior (à direita). Em conseqüência, cada unidade de área corresponde a 1 centézimo da unidade imediatamente superior, à esquerda. : Lá vamos nós para as regras práticas. A primeira já sabem não é? Para passar de uma unidade para outra imediatamente inferior devemos fazer uma multiplicação por 100. Assim, um metro quadrado é igual a 100 decímetros quadrados. E o inverso, lembram? Para passar de uma unidade imediatamente superior, devemos fazer uma divisão por 100. Então, um metro quadrado é igual a zero vírgula zero um decâmetro quadrado. E, por último, para passar de uma unidade para outra qualquer basta aplicar sucessivas vezes uma das regras anteriores. Para finalizar e antes do nosso exercício a nossa tabela de volume. Vai lá, Matu. Para as unidades de volume, percebemos que cada unidade corresponde a 1000 vezes a unidade de área imediatamente inferior (à direita). Em conseqüência, cada unidade de área corresponde a 1 milésimo da unidade imediatamente superior à esquerda. Não preciso nem dizer que as regras práticas são as mesmas, não é mesmo? Mas só que desta vez sempre multiplicando por mil. Eu só acredito que conseguimos entender todos esses cálculos vendo. Vamos fazer dois exercícios para concluir a aula. Vamos resolver primeiro o exercício 3 da competência 4. A quantidade de alimentos desperdiçada às vezes não é percebida porque fica nos lixos, em muitos pontos da cidade. Nas feiras livres de São Paulo, cerca de 1.032 toneladas de alimentos vão para o lixo diariamente, sendo que 80% poderiam ser reaproveitados. Para ter uma ideia melhor do tamanho do desperdício relatado no texto, suponha que a parte desses alimentos que pode ser reaproveitada é colocada em caminhões com capacidade de carga de 5 toneladas. Serão necessários cerca de: a) 120 caminhões. b) 140 caminhões. c) 160 caminhões. d) 200 caminhões. e) 180 caminhões. De acordo com o texto, a quantidade de alimentos que pode ser reaproveitada é igual a 80% de 1032 toneladas = 0,8.1032 que resulta em 825,6 toneladas. Para se colocar essa quantidade em caminhões com capacidade para 5 toneladas serão necessários 825,6 : 5 que é igual à aproximadamente 165 . A melhor alternativa é a C, 160 caminhões a mais próxima do valor de 165!!!!! Esse exercício é legal porque acerta quem está atento ao enunciado. Veja que ele pede a resposta aproximada e não exata. Tem mais um por aqui. Esse é o exercício 5 da competência 4. Segundo os dados do IBGE, a escolarização aumentou no País. O número de pessoas que faziam curso de alfabetização de adultos cresceu de 79 mil, em 1991, para 536 mil, em 2000. Com base nessas informações pode-se afirmar que o aumento do número de alunos ocorrido em 2000 em relação aos dados de 1991 está entre: 200% e 300%, 300% e 400%, 400% e 500%. 500% e 600%, ou 600% e 700%. Olha só, pessoal. Aplicando a regra de 3 com os dados apresentados temos: 79 mil está para 100% como 536 mil está para x X resulta então em 536 vezes 100, dividido por 79 que é igual 678,48% Este resultado significa que o aumento foi de 578, 48% A alternativa correta portanto é a D, o aumento em relação aos dados de 1991 está entre 500 e 600%. Ficamos por aqui pessoal. Maslembre-se, mesmo com a resolução dos exercícios em aula é sempre bom fazer os exercícios do livro e quem tiver dúvidas entrar no site para buscar materiais complementares e tirar as dúvidas. Até a próxima aula. A video-aula acabou, mas para você mandar bem no Enem ainda faltam algumas coisinhas, não é mesmo? Faça os exercícios, veja o material complementar e mande suas dúvidas. Bons estudos!.
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Cambé:
Sophie Morse, Yates: Bard College. Guarapuava: Hamilton College, Clinton; 2009.
Sam Cox, Columbia County. Duque de Caxias: Broome Community College; 2013.
Erika Gustman, 6th Avenue zip 10019. Sete Lagoas: University at Albany; 2011.