Globe Institute of Technology, Manhattan - Bem-vindo de volta. Agora vamos fazer um problema que envolve quase tudo que aprendemos até agora sobre probabilidade e combinações e probabilidade condicional. Então, digamos que eu tenho um saco de novo. E nesse saco, eu tenho 5 moedas justo, e eu ter 10 moedas injusto. E uma moeda justa, é claro, é a chance de conseguir 50:50 cabeças ou coroa, a moeda e injusta - digamos que há um 80% chance de conseguir um cabeças para qualquer uma dessas moedas, e que há uma chance de 20% de obter caudas. Certo? Porque ele vai ser ou cara ou coroa. Então, minha pergunta é, o que acontece é que eu coloquei minha mão no saco, e meus olhos estão fechados, e peguei uma moeda. E então eu lançá-lo seis vezes. Digamos que eu tenho quatro de seis cabeças. Esse é o resultado que eu tenho. O que eu quero saber é, qual é a probabilidade de que eu escolhi uma moeda honesta, já que eu tenho quatro de seis cabeças? Portanto, antes de seguir em frente, vamos fazer um pouco de revisão de Bayes Teorema, e eu acho que vai nos dar um bom quadro para o resto deste problema. Assim, o Teorema de Bayes - e deixe-me fazê-lo neste canto aqui em cima. Teorema de Bayes nos diz que a probabilidade de ambos os a e b acontecendo. Que de cabeça para baixo u é apenas uma intersecção na teoria dos conjuntos, mas é essencialmente dizendo, você sabe, é um conjunto de eventos em que tanto a como b ocorrer. Isso é igual à probabilidade de um dado b ocorrendo, os tempos a probabilidade de b, que também é igual à probabilidade de b ocorrem dado um tempo, a probabilidade de a. E acho que isso deve fazer alguma intuição para você. Se isso não acontecer, pode ser uma boa idéia para assistir ao Vídeos probabilidade condicional. Mas o que podemos fazer é que podemos reorganizar esta equação direita aqui para obter - se basta dividir ambos os lados pela probabilidade de b, temos a probabilidade - e eu vou fazer isso em um vibrante cor - a probabilidade de um dado b é igual ao probabilidade de b dado um tempo, a probabilidade de uma dividida pela probabilidade de b. Eu só tomou esta equação, dividido ambos os lados pela probabilidade de b, e eu tenho isso. Então, qual é a e b do problema que estamos tentando para descobrir? Estamos quer tentar descobrir a probabilidade de que eu escolhi uma moeda honesta, já que eu tenho quatro de seis cabeças. Assim, nesta situação, uma é que eu tenho uma moeda honesta. um é igual a moeda honesta escolheu. E então b é igual a quatro de seis cabeças. Portanto, a fim de descobrir a probabilidade de que eu escolhi uma moeda honesta, já que eu tenho quatro de seis cabeças, eu tenho saber a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças uma vez que eu peguei a moeda justa, vezes a probabilidade de escolhendo uma moeda honesta, dividido pela probabilidade de ficando quatro de seis cabeças, em geral. Então, esta é provavelmente a parte mais difícil de descobrir. E nós - ao longo do caminho - vamos realmente provavelmente descobrir o top 2 termos. Então, qual é a probabilidade de b, ou a probabilidade de obter quatro de seis cabeças? Vamos ver o que acontece. Direito quando eu coloco minha mão no saco e eu pegar uma moeda, há um cinco em quinze chance - direito, há 15 moedas total - que eu pegar uma moeda honesta. Por isso, cinco em quinze - que é a mesma coisa que 1/3-- que eu pegar uma moeda honesta. E então há uma chance de 03/02 que eu pegar uma moeda injusto. Agora, se eu pegar uma moeda honesta, já que eu tenho uma moeda honesta, qual é a probabilidade dada a moeda honesta? Qual é a probabilidade que eu tenho quatro de seis cabeças? Bem, mais uma vez, vamos pensar sobre o anterior vários vídeos. Qual é a probabilidade de obter qualquer um em particular combinação de quatro dos seis cabeças? Assim, por exemplo, você sabe, poderia ser cabeças, caudas, cabeças, caudas, cabeças, cabeças. Poderia ser o primeiro quatro cabeças: cabeças, cabeças, cabeças cabeças, caudas, caudas. Certo? E há um monte delas, e nós mais uma vez, usará o coeficiente binomial, ou vamos usar nosso conhecimento de combinações para descobrir quantos diferentes combinações existem. Mas qual é a probabilidade de cada uma dessas combinações? Bem, qual é a probabilidade de cabeças? Isso é 0,5 vezes 0,5 vezes 0,5 vezes 0,5. Ea probabilidade de caudas, também é 0,5 vezes 0,5 vezes 0,5. Então, cada um destes - há uma chance de 02/01 de conseguir um cabeças, vezes a chance de 1 / 2 de uma coroa, vezes a chance meia de cabeças, vezes a chance 1 / 2 de um caudas, et cetera, et cetera. Então, cada um destes são, essencialmente, 1 / 2 vezes 02/01, seis vezes. Assim, a probabilidade de cada uma das combinações é 02/01 para o sexto poder. E assim por quantas combinações estão lá como este? Onde você obtém - dos seis flips, você está essencialmente escolha de quatro cabeças. Você está escolhendo - se eu estou mais uma vez, o Deus de probabilidade - Eu estou escolhendo quatro, exatamente quatro, dos seis cabeças. Desculpe, eu estou escolhendo quatro exatamente seis dos flips acabar cabeças, certo? Eu estou escolhendo qual dos flips ser selecionado, por assim dizer. Portanto, é essencialmente, não vai ser - de seis flips, Eu estou escolhendo, como o Deus de probabilidade - de quatro a ser cabeças. Então esse é o número de combinações únicas, onde você tem quatro de seis cabeças, vezes a probabilidade de cada um as combinações, que é um meia para o sexto poder. Bem, o que é escolher seis 4? São 6 factorial mais de 4 vezes fatorial 6 menos 4 fatorial. De modo que é fatorial 2. E isso é vezes meia para o sexto. Eu estou indo para alternar as cores de novo, apenas para parar a monotonia. E que é igual a 6 vezes 5 vezes 4 vezes 3 vezes 2 - nós não tem que escrever os tempos 1 1, mas vou fazê-lo de qualquer maneira - mais de 4 fatorial. 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1. E depois fatorial 2. 2 vezes 1. Assim que cancela com isso. O 1 podemos ignorar. 2, dividir o numerador eo denominador por 2, e isso se torna 3. Então isso se torna 15. Então, o que equivale a 15 vezes 1 / 2 para o sexto. O que é um meia para o sexto? É 1 / 64, certo? Então, 1 / 64, por isso se torna 15/64. Assim, a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças, dado um moeda honesta, é de 15 de 64. E se você olhar para ele, com base em nossa definição de b e, este é a probabilidade de b dado a. Certo? b é quatro de seis cabeças, dada uma moeda honesta. Justo. Então, vamos descobrir a probabilidade de - porque há duas maneiras de obter quatro dos seis cabeças. Um, que nós escolhemos uma moeda honesta, e depois 15 vezes de 64. E depois há a probabilidade de que nós pegou uma moeda injusto. Então, qual é a probabilidade de a moeda injusto? De obter quatro dos seis cabeças, dada a moeda injusto? Bem, mais uma vez, qual é a probabilidade de cada um dos combinações onde temos quatro de seis? Assim, nesta situação, vamos fazer o mesmo. Cabeças, caudas, cabeças, caudas, cabeças, cabeças. Isso é quatro de seis cabeças. Mas nesta situação, não é uma chance de 50% de obter cabeças. É 80%. Então seria 0,8 vezes 0,2 vezes 0,8 vezes 0,2 vezes 0,8 vezes 0,8. Agora, essencialmente, que temos - você sabe, esta multiplicação, nós pode reorganizar-lo, porque não importa que ordem você multiplicar as coisas dentro Portanto, é 0,8 vezes para o quarto poder 0,2 ao quadrado. E isso não importa. Você sabe, qualquer uma das combinações únicas terão cada a mesma probabilidade. Porque podemos apenas reorganizar a ordem em que se multiplicam. E, em seguida, quantas dessas combinações existem? Se formos, mais uma vez, o Deus de probabilidade, e de seis flips estamos escolhendo quatro - estamos escolhendo quatro que vão acabar cabeças? Quantas maneiras posso escolher um grupo de quatro? Bem, mais uma vez, que é seis vezes escolher 4. Descobrimos o que é. 6 escolher 4 é 15. Então, o que equivale a 15 vezes 0,8 a 0,2 vezes quarto quadrado. E esta é a probabilidade de quatro de seis cabeças, dada uma moeda injusto. Então, qual é a probabilidade total de se quatro de seis cabeças? Bem, isso vai ser a probabilidade de obter o justo moeda - o que é 1/3-- vezes a probabilidade de obter quatro de seis cabeças, dada a moeda honesta - e é este 15/64. Mais probabilidade de conseguir uma moeda injusta - 2/3-- vezes a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças, dada a moeda injusta - e é isso que descobrimos aqui. Vezes 15 vezes para 0,8, o quarto, 0,2 vezes ao quadrado. E esta é a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças. E vamos descobrir o que é. Isso vai cancelar com isso. Isso se torna 5 de 64, que é fácil o suficiente. 2 / 3 vezes 15, que é 10. E agora só temos de descobrir o que é. Vamos ver, eu estou indo ir sobre o limite de tempo para ver se estar um parceiro Youtube me permite ir além do limite de tempo. 0,8 vezes 0,8 vezes 0,8 vezes 0,8 é igual a - e então 0,2 vezes ao quadrado. Tantas vezes 0,2 vezes 0,2 é igual a 0,016. Então é isso. E nós dissemos 10 vezes, certo? Porque 2 / 3 vezes 15. Assim, vezes 10, é igual a 16,384%. Assim, a probabilidade é - de modo que este direito termo aqui - deixe-me escrever que para baixo, e eu vou trocar as cores de novo - este é 0,16384. E vamos acrescentar que a 5 dividido por 64. Então vamos ver. 5 dividido por 64 é igual a 0,07, o que quer, seja qual for. Além de 0,16384 é igual a 0,241965. Então essa é a probabilidade - sem saber qual moeda eu peguei para fora - que é a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças. Quando você combiná-los você sabe? Poderia ser 1 / 3 justo chance, 03/02 oportunidade injusto. De modo que é 24,19 - Estou mantendo a precisão, apenas porque pode vir a ser útil mais tarde -% de chance. Então essa é a probabilidade de b. Então, vamos ver se conseguimos limpar isso um pouco, apenas porque eu não acho que precisamos de tudo isso escrevendo agora. Acho que estamos prontos para substituir dentro de Bayes fórmula, que nós - Teorema de Bayes - que rederived. Não, não é isso que eu queria fazer. Gravação de vídeos é mais perigoso, porque se eu cometer um erro que é mais tempo perdido. Eu não quero apagar tudo o que poderia ser útil. OK. Então, vamos ver se podemos resolver a probabilidade de que nós escolhemos uma moeda honesta, dado que temos quatro de seis cabeças. De modo que vai ser igual a - pelo Teorema de Bayes, que deve fazer algum sentido para você - que é igual ao probabilidade de b dado a. Por isso é a probabilidade de que nós temos quatro de seis cabeças, dada uma moeda honesta, vezes a probabilidade de uma moeda honesta, sobre a probabilidade de obter quatro dos seis cabeças de qualquer maneira. Assim, quatro dos seis cabeças, dada uma moeda honesta - achamos que aqui - que é 15/64. Portanto, este é igual a 15/64. Qual é a probabilidade de que nós escolhemos uma moeda honesta? Bem, há 15 moedas e 5 delas são justas, por isso é 5 de 15, por isso é 1 / 3. Tantas vezes 1 / 3. E qual é a probabilidade de que, em geral, nós escolhemos quatro de seis cabeças? Bem que esse número: 0,241965. Portanto, este é igual - vamos ver, isso é igual a 5 / 64 dividido por 0,241965, eo que é que igual a? Isso é 5 dividido por 64 dividido por 0,241965 é igual a 32 .-- assim, cerca de 3% - é igual a 32,3%. Então, isso é incrível. Ou relativamente surpreendente. É um pouco menos do que um tiro 03/01 que escolheu o moeda honesta, dado que temos quatro de seis cabeças. E o que é interessante é, a quatro dos seis cabeças, que tipo reduziu a probabilidade de que temos uma moeda honesta. Porque antes de ter dados sobre o que acontece quando jogarmos ele, teríamos tido uma probabilidade de 1 / 3. Que é de 33,3, certo? Mas dado que temos mais cabeças do que as caudas, o universal probabilidade está nos dizendo que, bem, se você tem mais cabeças em seguida, caudas, que o torna um pouco mais provável que você pegou a moeda desleal, que é um pouco mais ponderada a cabeça. Mas ele está dizendo não é que muito mais provável, porque este não é tão incomum de um resultado para obter, mesmo com uma moeda honesta. Então é por isso tornou-se um pouco menos provável para obter uma moeda honesta. E deixe-me dar-lhe um pouco de intuição, visualmente, com tipo de teoria dos conjuntos, sobre o motivo que faz sentido. Então, se voltarmos ao teorema de Bayes - vamos dizer que este é o universo de todos os eventos. Isso é tudo do universo. Há uma chance aproximadamente 1 / 3 que eu escolhi uma moeda honesta. Assim, cerca de 1 / 3 do presente será justo. Isto é justo, isso é injusto. E então se eu peguei uma moeda honesta, descobrimos que há cerca de um 15 de 64 tiros que eu tenho quatro de seis cabeças. Então talvez seja essa pequena seção deste - deixe-me fazer lo em uma cor diferente. Que é esta seção. E então descobrimos se temos uma moeda injusto - eu esqueci que o número exato é - mas há alguma probabilidade de que temos quatro de seis cabeças. É realmente um pouco maior, é assim. Então, isso está ficando quatro de seis cabeças, dado tenho uma moeda injusto. Isso está ficando quatro de seis cabeças, uma vez que você tem uma moeda honesta. E então toda esta área é a probabilidade de que você obter quatro de seis cabeças. Assim, todas as Teorema de Bayes nos disse é, olhe, nós temos quatro de seis cabeças. Então, nós estamos neste universo onde temos quatro de seis cabeças. E se nós temos quatro de seis cabeças, 1 / 3 deste universo - aproximadamente, ou 32,3% desse grupo de quatro dos seis cabeças - cruza com o universo moeda honesta. Portanto, esta é, essencialmente, 32,3% desta fração do total probabilidade de obter quatro dos seis cabeças. De qualquer forma, espero que lhe deu um pouco de intuição. E espero que me deixa Youtube publicar este vídeo, porque Eu estou no meu 17 minutos. Te vejo no vídeo seguinte..
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Rondonópolis:
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